ตามพจนานุกรมภาษาโลก (KBBI) การเปลี่ยนแปลงหมายถึงการเปลี่ยนแปลงรูปลักษณ์ไม่ว่าจะเป็นรูปแบบลักษณะหรือหน้าที่ การแปลงยังมีความหมายของการเปลี่ยนโครงสร้างทางไวยากรณ์เป็นโครงสร้างทางไวยากรณ์อื่นโดยการเพิ่มการลบหรือการจัดเรียงองค์ประกอบใหม่ ในระยะสั้นเราสามารถพูดได้ว่าการเปลี่ยนแปลงคือการเปลี่ยนแปลง แต่คุณรู้หรือไม่ว่าการเปลี่ยนแปลงในคณิตศาสตร์คืออะไร?
การแปลงทางคณิตศาสตร์มีความหมายเป็นฟังก์ชันที่ทำแผนที่ตำแหน่งของแต่ละจุดจากตำแหน่งเริ่มต้นไปยังตำแหน่งใหม่ การเปลี่ยนแปลงมีสี่ประเภท ได้แก่ การแปลการสะท้อนการหมุนและการขยายตัว
รูปร่างเริ่มต้นของวัตถุก่อนการเปลี่ยนแปลงเรียกว่าวัตถุในขณะที่รูปร่างใหม่หลังการเปลี่ยนแปลงเรียกว่าเงา การสะท้อนการหมุนและการแปลงการแปลจะทำให้เกิดรูปร่างวัตถุเดียวกันโดยมีภาพเดียวกับวัตถุ ในขณะเดียวกันในการเปลี่ยนแปลงการขยายตัววัตถุจะมีการเปลี่ยนแปลงขนาด แต่ไม่เปลี่ยนแปลงรูปร่าง ทีนี้เราจะพูดถึงทั้งสี่
การแปล (Shift)
การแปลคือการเปลี่ยนวัตถุตามระยะทางและทิศทางที่กำหนด การแปลคือการเปลี่ยนแปลงที่เคลื่อนที่ทุกจุดบนระนาบด้วยระยะทางและทิศทางที่กำหนด ในการแปลงแปลทุกจุดจะถูกเคลื่อนย้ายด้วยขนาดและทิศทางเดียวกัน
ตัวอย่างเช่นจุดจะถูกแปลว่าหน่วยขนานกับแกน X และเท่าที่หน่วย b ขนานกับแกน Y ซึ่งหมายความว่า a คือการเคลื่อนที่ในแนวนอน (บวกไปทางขวาลบไปทางซ้าย) และ b คือการเคลื่อนที่ในแนวตั้ง (บวกขึ้นไปทางลบลง)
การสะท้อนกลับ (มิเรอร์)
ภาพสะท้อนที่เรามักพบบนพื้นผิวกระจกหรือบนผิวน้ำใส การสะท้อนกลับเป็นการเปลี่ยนแปลงที่ทำแผนที่แต่ละจุดด้วยเงื่อนไขต่อไปนี้
- จุดที่ตั้งอยู่บนเส้นกระจกไม่เปลี่ยนตำแหน่ง
- จุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นกระจกจะถูกสะท้อนเพื่อให้ระยะวัตถุกับกระจกเท่ากับระยะภาพถึงกระจก
หากต้องการทำความเข้าใจคุณสมบัติของการสะท้อนให้พิจารณาภาพด้านล่าง
จากภาพนี้เราสามารถสรุปได้ว่าภาพสะท้อนซึ่งอยู่ด้านหลังเส้นกระจกหันเข้าหาวัตถุ เส้นประที่เชื่อมต่อจุดภาพและจุดวัตถุตั้งฉากกับเส้นกระจก จากนั้นเรายังพบว่าความยาวของส่วนและมุมของภาพนั้นเท่ากันกับความยาวของส่วนและมุมของวัตถุ วัตถุและเงามีรูปร่างและขนาดเท่ากัน แต่อยู่ในทิศทางตรงกันข้ามกัน
การหมุน (การหมุน)
รูปแบบต่อไปของการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์คือการหมุน เราสามารถพบการหมุนได้ในชีวิตประจำวันเช่นวงล้อที่เคลื่อนที่ไปตามแกนการเคลื่อนไหวของเข็มนาฬิกาและการเคลื่อนที่ของประตูเมื่อเปิดและปิด
การหมุนเป็นการเปลี่ยนแปลงที่เปลี่ยนพิกัดของจุดไปยังจุดคงที่ของขนาดและทิศทางที่แน่นอน ทิศทางของการหมุนอาจเป็นตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา มุมบวกจะทวนเข็มนาฬิกาในขณะที่มุมลบเป็นตามเข็มนาฬิกา
จุดคงที่คือมุมของการหมุนหรือที่เรียกว่าจุดศูนย์กลางของการหมุน มุมของการหมุนที่วัดจากจุดศูนย์กลางเรียกว่ามุมของการหมุน หากต้องการทำความเข้าใจคุณสมบัติของการหมุนให้พิจารณาภาพด้านล่าง
พิกัดของภาพที่เกิดจากการหมุนสามารถกำหนดได้หากทราบพิกัดของจุดศูนย์กลางการหมุนมุมของการหมุนและทิศทางของการหมุน ถ้าทุกจุดมุมของวัตถุถูกหมุนด้วยมุมการหมุนเดียวกันภาพที่ได้จะมีรูปร่างแนวและขนาดเดียวกันกับวัตถุต้นฉบับ
วัตถุและภาพอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางการหมุนเท่ากัน จุดศูนย์กลางของการหมุนเป็นจุดเดียวที่ไม่เปลี่ยนตำแหน่ง เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเส้นที่เชื่อมต่อจุดและภาพจะเคลื่อนผ่านจุดศูนย์กลาง
การขยายตัว (การคูณ)
รูปแบบสุดท้ายของการเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์คือการขยายตัว การขยายคือการเปลี่ยนแปลงที่ทำให้เกิดเงาที่มีรูปร่างคล้ายกับวัตถุดั้งเดิม แต่มีขนาดแตกต่างกัน เงาที่ได้อาจมีขนาดใหญ่หรือเล็กกว่าวัตถุเดิม
ดูภาพลูกไก่เพนกวินและพ่อแม่เพนกวินด้านบน จากความสูงของพวกมันเรารู้ว่าเพนกวินพ่อแม่มีขนาดใหญ่กว่านกเพนกวิน 5 เท่า เมื่อวัตถุถูกขยายความยาวของทุกด้านจะคูณด้วยสเกลแฟคเตอร์
เพื่อให้เข้าใจแนวคิดของการขยายในทางคณิตศาสตร์เราจำเป็นต้องรู้ว่าสเกลแฟคเตอร์และจุดศูนย์กลางของการขยายคืออะไร สเกลแฟคเตอร์คือค่าที่กำหนดว่าภาพที่ขยายออกไปของวัตถุต้นฉบับนั้นใหญ่หรือเล็กเพียงใด ในขณะเดียวกันจุดกึ่งกลางของการขยายจะใช้เพื่อกำหนดจุดอ้างอิงสำหรับการวัดระยะทางในการขยายหรือลดวัตถุ
ดูภาพด้านล่าง สามเหลี่ยม ABC ถูกขยายเพื่อให้ได้สามเหลี่ยม A'B'C '
ด้วยวิธีนี้เราจึงรู้ว่าสเกลแฟคเตอร์ของสามเหลี่ยมคือ 3
