ในสถาปัตยกรรมมีการคำนวณทางคณิตศาสตร์สำหรับการสร้างอาคารซึ่งหนึ่งในนั้นคือระบบสมการเชิงเส้น ระบบสมการเชิงเส้นมีประโยชน์ในการกำหนดพิกัดของจุดตัด พิกัดที่ถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญในการสร้างสิ่งปลูกสร้างที่ตรงกับภาพร่าง ในบทความนี้เราจะพูดถึงระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร (SPLTV)
ระบบสามตัวแปรของสมการเชิงเส้นประกอบด้วยสมการเชิงเส้นหลายตัวแปรที่มีสามตัวแปร รูปแบบทั่วไปของสมการเชิงเส้นสามตัวแปรมีดังนี้
ขวาน + by + cz = d
a, b, c และ d เป็นจำนวนจริง แต่ a, b และ c ไม่สามารถเป็น 0 ได้ทั้งหมดสมการมีคำตอบมากมาย วิธีแก้ปัญหาหนึ่งสามารถหาได้โดยการเทียบค่าใด ๆ กับตัวแปรทั้งสองเพื่อกำหนดค่าของตัวแปรที่สาม
ค่า (x, y, z) คือชุดของคำตอบสำหรับระบบสามตัวแปรของสมการเชิงเส้นหากค่า (x, y, z) ตรงตามสมการทั้งสามใน SPLTV ชุดการชำระ SPLTV สามารถกำหนดได้สองวิธีคือวิธีการทดแทนและวิธีการกำจัด
วิธีการเปลี่ยนตัว
วิธีการแทนค่าเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการแทนค่าของตัวแปรหนึ่งจากสมการหนึ่งไปยังอีกสมการหนึ่ง วิธีนี้จะดำเนินการจนกว่าจะได้ค่าตัวแปรทั้งหมดในระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปร
(อ่านเพิ่มเติม: ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร)
วิธีการแทนที่ใช้ง่ายกว่าบน SPLTV ซึ่งมีสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 0 หรือ 1 ต่อไปนี้เป็นขั้นตอนในการแก้วิธีการแทนที่
- หาสมการที่มีรูปแบบง่ายๆ สมการแบบง่ายมีค่าสัมประสิทธิ์ 1 หรือ 0
- แสดงตัวแปรหนึ่งในรูปแบบของอีกสองตัวแปร ตัวอย่างเช่นตัวแปร x แสดงในรูปของ y หรือ z
- แทนค่าตัวแปรที่ได้รับในขั้นตอนที่สองเป็นสมการอื่น ๆ ใน SPLTV เพื่อให้ได้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)
- ตรวจสอบการชำระ SPLDV ที่ได้รับในขั้นตอนที่สาม
- กำหนดค่าของตัวแปรที่ไม่รู้จักทั้งหมด
ให้เราทำโจทย์ตัวอย่างต่อไปนี้ ค้นหาชุดคำตอบสำหรับระบบสมการเชิงเส้นสามตัวแปรต่อไปนี้
x + y + z = -6 … (1)
x - 2y + z = 3 … (2)
-2x + y + z = 9 … (3)
ขั้นแรกเราสามารถแปลงสมการ (1) เป็น, z = -x - y - 6 เป็นสมการ (4) จากนั้นเราสามารถแทนสมการ (4) เป็นสมการ (2) ได้ดังนี้
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
หลังจากนั้นเราสามารถแทนสมการ (4) เป็นสมการ (3) ได้ดังนี้
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
เรามีค่าสำหรับ x = -5 และ y = -3 เราสามารถเสียบเข้ากับสมการ (4) เพื่อให้ได้ค่า z ดังนี้
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3 - 6
z = 2
ดังนั้นเราจึงมีชุดคำตอบ (x, y, z) = (-5, -3, 2)
วิธีการกำจัด
วิธีการกำจัดเป็นวิธีการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการกำจัดตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งในสองสมการ วิธีนี้จะดำเนินการจนกว่าจะเหลือตัวแปรเดียว
วิธีการกำจัดสามารถใช้ได้ในทุกระบบของสมการเชิงเส้นสามตัวแปร แต่วิธีนี้ต้องใช้ขั้นตอนที่ยาวนานเนื่องจากแต่ละขั้นตอนสามารถกำจัดตัวแปรได้เพียงตัวเดียว ต้องใช้วิธีการกำจัดอย่างน้อย 3 วิธีเพื่อกำหนดชุดการชำระ SPLTV วิธีนี้ง่ายกว่าเมื่อรวมกับวิธีการเปลี่ยนตัว
ขั้นตอนในการทำให้เสร็จสมบูรณ์โดยใช้วิธีการกำจัดมีดังนี้
- สังเกตความคล้ายคลึงกันสามประการใน SPLTV ถ้าสองสมการมีสัมประสิทธิ์เดียวกันในตัวแปรเดียวกันให้ลบหรือเพิ่มสมการทั้งสองเพื่อให้ตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0
- ถ้าไม่มีตัวแปรใดที่มีค่าสัมประสิทธิ์เท่ากันให้คูณทั้งสองสมการด้วยจำนวนที่ทำให้สัมประสิทธิ์ของตัวแปรในทั้งสองสมการเท่ากัน ลบหรือบวกสองสมการเพื่อให้ตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0
- ทำซ้ำขั้นตอนที่ 2 สำหรับคู่สมการอื่น ๆ ตัวแปรที่ละไว้ในขั้นตอนนี้ต้องเหมือนกับตัวแปรที่ละไว้ในขั้นตอนที่ 2
- หลังจากได้สมการใหม่สองสมการในขั้นตอนก่อนหน้าแล้วให้กำหนดชุดคำตอบสำหรับสองสมการโดยใช้วิธีการแก้ปัญหาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (SPLDV)
- แทนค่าของตัวแปรทั้งสองที่ได้รับในขั้นตอนที่ 4 ในหนึ่งในสมการ SPLTV เพื่อให้ได้ค่าของตัวแปรที่สาม
เราจะพยายามใช้วิธีกำจัดในปัญหาต่อไปนี้ กำหนดชุดโซลูชัน SPLTV!
2x + 3y - z = 20 … (1)
3x + 2y + z = 20 … (2)
X + 4y + 2z = 15 … (3)
SPLTV สามารถกำหนดได้โดยการกำจัดตัวแปร z ขั้นแรกให้เพิ่มสมการ (1) และ (2) เพื่อให้ได้:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
จากนั้นคูณ 2 ในสมการ (2) และคูณ 1 ในสมการ (1) เพื่อให้ได้:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
หลังจากทราบค่า x แล้วให้แทนที่ด้วยสมการ (4) ดังนี้
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
แทนค่า x และ y ในสมการ (2) ดังนี้
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
เพื่อให้ชุดของโซลูชัน SPLTV (x, y, z) คือ (5, 3, -1)
