คณิตศาสตร์ได้รับน่ากลัวความอัปยศสำหรับนักเรียนแม้ว่ายิ่งสำรวจและคณิตศาสตร์ทางปฏิบัติมักจะสนุกมากขึ้นและสนุกสนานมันจะเป็น ดังนั้นตอนนี้เราจะชวนคุณมาเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการอุปนัยทางคณิตศาสตร์ อุปนัยทางคณิตศาสตร์คืออะไรและใช้ทำอะไร?
การอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถตีความได้ว่าเป็นเทคนิคการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อพิสูจน์ข้อความพิเศษที่มีตัวเลขธรรมชาติ การพิสูจน์โดยใช้วิธีนี้ทำให้เกิดข้อสรุปทั่วไป
ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
ในการพิสูจน์โดยใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์จะได้ข้อสรุปทั่วไป มีสองประเภทของการใช้เหตุผลเพื่อให้ได้ข้อสรุป ได้แก่ การให้เหตุผลเชิงนิรนัยและการให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัยคือการให้เหตุผลที่เริ่มต้นจากข้อความทั่วไปไปจนถึงข้อความเฉพาะเจาะจง แนวทางนี้เรียกว่าแนวทาง "เฉพาะทั่วไป" เนื่องจากการให้เหตุผลเริ่มต้นจากสิ่งทั่วไปแล้วสรุปด้วยสิ่งที่เฉพาะเจาะจง ตัวอย่าง; แอปเปิ้ลทั้งหมดเป็นผลไม้ผลไม้ทั้งหมดเติบโตบนต้นไม้แอปเปิ้ลทั้งหมดจึงเติบโตบนต้นไม้
- การให้เหตุผลแบบอุปนัยคือการให้เหตุผลที่เริ่มต้นจากข้อความเฉพาะไปจนถึงข้อความทั่วไป วิธีนี้เรียกว่าแนวทาง "เฉพาะทั่วไป" เนื่องจากข้อความประกอบด้วยประเด็นเฉพาะเพื่อให้ได้ข้อสรุปที่ยอมรับโดยทั่วไป ตัวอย่าง; ผู้โดยสารรถบัสสังเกตว่าทุกครั้งที่คนขับรถเหยียบเบรกผู้โดยสารทั้งหมดบนรถบัสจะถูกผลักไปข้างหน้า
(อ่านเพิ่มเติม: การเปลี่ยนแปลงทางคณิตศาสตร์เช่นอะไร)
นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธีการอุปนัยทางคณิตศาสตร์เพื่อพิสูจน์ความจริงของสมมติฐานพิเศษเพื่อให้เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป ดังนั้นวิธีนี้จึงใช้ในการพิสูจน์เหตุผลแบบอุปนัย
การประยุกต์ใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
การประยุกต์ใช้การอุปนัยทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่างๆ สมมติฐานที่จัดเรียงในคณิตศาสตร์จำเป็นต้องได้รับการพิสูจน์เพื่อให้เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป โดยทั่วไปสมมติฐานจะใช้ได้หากพิสูจน์แล้วว่าเป็นจริงสำหรับค่าตัวเลขทั้งหมดที่ใช้ นี่คือตัวอย่างของคำสั่งที่พิสูจน์ได้ด้วยวิธีนี้
พิสูจน์ว่าผลรวมของอนุกรม -n เลขคี่คือ n2 โดยที่ n คือจำนวนธรรมชาติ
วิธีแก้ไข: P n = 1 + 3 + 5 + 7 + … .. + (2n - 1) = n2 ใช้กับทุกๆ n € A
ขั้นตอนพื้นฐาน: สำหรับ n = 1 เราจะได้ว่า P1 = 1 = 12 นั้นถูกต้อง
ขั้นตอนการเหนี่ยวนำ: สมมติว่าสำหรับ n = k, P kเป็นจริง จะแสดงว่าสำหรับ n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 เป็นจริง
ใส่ใจกับขั้นตอนต่อไปนี้:
สำหรับ n = k ดังนั้น P k = 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2k - 1) = k2 เป็นจริง
โดยเพิ่ม [2 (k + 1) -1] ทั้งสองข้างแล้ว
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 + … (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (พิสูจน์แล้ว)
หลักการของการเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์
ให้ P (n) เป็นคำสั่งที่มีจำนวนธรรมชาติ นิพจน์ P (n) สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด n โดยทำตามขั้นตอนของการอุปนัยทางคณิตศาสตร์
นี่คือขั้นตอนในการพิสูจน์โดยใช้วิธีนี้:
- พิสูจน์ว่า P (1) เป็นจริงหรือ P (n) เป็นจริงสำหรับ n = 1
- ถ้า P (k) เป็นจริงแสดงว่า P (k + 1) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก k
หากขั้นตอน (1) และ (2) ถูกต้องสรุปได้ว่า P (n) เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน n ขั้นตอนที่ 1 เรียกว่าขั้นตอนพื้นฐานในขณะที่ขั้นตอนที่ 2 เรียกว่าขั้นตอนการเหนี่ยวนำ
